연속확률분포 총정리: 균일, 정규, 지수, 감마, 베타 분포

이전 글에서 이산확률분포 — 베르누이, 이항, 포아송, 기하 — 를 다뤘다. 이산분포는 “몇 개”를 세는 세계였다. 동전 앞면 횟수, 하루 접속자 수, 첫 성공까지의 시행 횟수. 전부 정수값으로 떨어졌다.

그런데 현실의 데이터 대부분은 정수가 아니다. 사람의 키 172.3cm, 서버 응답 시간 0.347초, 주가 수익률 -2.14%. 이런 값들은 셀 수 없이 촘촘한 실수 위에 분포한다. 이것이 **연속확률분포(Continuous Probability Distribution)**의 영역이다.

이번 글에서는 ML에서 가장 핵심적인 분포인 정규분포를 중심으로, 실전에서 반드시 알아야 할 연속분포 5가지를 하나씩 쌓아올린다.

연속분포의 핵심: PDF와 적분

본격적으로 들어가기 전에, 확률변수와 기댓값 글에서 다뤘던 핵심 개념을 짧게 복습하자.

이산분포에서는 PMF $P(X = x)$로 특정 값의 확률을 바로 구할 수 있었다. 하지만 연속분포에서는 $P(X = x) = 0$이다. 왜? 실수 직선 위의 “한 점”은 길이가 0이기 때문이다. 대신 구간에 대한 확률을 PDF(확률 밀도 함수)를 적분해서 구한다.

$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx$

PDF $f(x)$는 확률 그 자체가 아니라 밀도다. 확률은 그 밀도를 구간 위에서 적분해야 나온다. 이 차이가 연속분포를 다루는 전체 사고방식을 결정한다.

이제 가장 단순한 분포부터 시작해서, 점점 풍부한 구조를 가진 분포로 올라가보자.

균일 분포 Uniform(a, b)

가장 단순한 연속분포

**균일 분포(Uniform Distribution)**는 구간 $[a, b]$ 위에서 모든 값이 동일한 확률 밀도를 갖는 분포다. 어떤 값이 나올지에 대해 아무런 선호도 없는, 가장 “공평한” 분포라고 할 수 있다.

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{if } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

PDF가 상수이므로 그래프는 직사각형 형태다. 높이가 $\frac{1}{b-a}$이고, 구간 길이가 $(b-a)$이므로, 넓이는 정확히 1이 된다.

기댓값과 분산

$E[X] = \frac{a + b}{2}, \quad \text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$

기댓값은 구간의 정중앙이고, 분산은 구간 길이의 제곱을 12로 나눈 값이다. 직관적으로 당연한 결과 — 모든 값이 균등하니 평균은 한가운데에 놓인다.

왜 중요한가

균일 분포는 단순하지만, 그 역할은 결코 단순하지 않다.

• 난수 생성의 출발점: 거의 모든 프로그래밍 언어의 random() 함수가 $\text{Uniform}(0, 1)$에서 난수를 뽑는다. 다른 모든 분포의 난수는 이 균일 난수를 변환해서 만든다 (뒤에서 다룰 Box-Muller 변환이 대표적).
• 무정보 사전분포(Uninformative Prior): 베이지안 추론에서 “아무 사전 정보가 없다”를 수학적으로 표현할 때 균일 분포를 사용한다.
• 셔플과 샘플링: 데이터를 무작위로 섞거나, train/test를 나누는 모든 과정이 균일 분포에 기반한다.

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

# Uniform(2, 8)
a, b = 2, 8
rv = stats.uniform(loc=a, scale=b - a)  # scipy: loc=a, scale=b-a

# 기본 통계량
print(f"E[X] = {rv.mean():.2f}")    # 5.00
print(f"Var(X) = {rv.var():.2f}")   # 3.00
print(f"Std(X) = {rv.std():.2f}")   # 1.73

# 구간 확률 계산: P(3 ≤ X ≤ 5)
prob = rv.cdf(5) - rv.cdf(3)
print(f"P(3 ≤ X ≤ 5) = {prob:.4f}")  # 0.3333 — 구간 길이/전체 길이

구간 확률이 단순히 부분 길이 / 전체 길이로 계산된다는 점이 균일 분포의 직관적인 매력이다.

정규 분포 Normal(μ, σ²)

THE Distribution

통계학과 ML에서 가장 중요한 분포를 딱 하나만 고르라면, 누구든 **정규 분포(Normal Distribution)**를 꼽을 것이다. 가우시안 분포(Gaussian Distribution)라고도 불리며, 그 유명한 **종 모양(bell curve)**의 주인공이다.

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

두 개의 파라미터가 분포의 모든 것을 결정한다.

• $\mu$ (평균): 종의 중심 위치. 분포를 좌우로 이동시킨다.
• $\sigma^2$ (분산): 종의 폭. 클수록 넓게 퍼지고, 작을수록 뾰족해진다.

기댓값과 분산

$E[X] = \mu, \quad \text{Var}(X) = \sigma^2$

파라미터 이름 그대로다. 이렇게 깔끔한 대응은 정규 분포만의 특권이라 할 수 있다.

파라미터에 따른 형태 변화

$\mu$와 $\sigma^2$이 달라지면 PDF가 어떻게 변하는지 시각적으로 확인해보자.

μ는 분포의 위치를, σ²는 폭을 결정한다. σ²가 작을수록 평균 근처에 밀집된다.

from scipy import stats
import numpy as np

# 다양한 정규분포 비교
configs = [
    (0, 1, 'Standard Normal'),
    (0, 0.5, 'Narrow (σ²=0.25)'),
    (0, 2, 'Wide (σ²=4)'),
    (2, 1, 'Shifted (μ=2)'),
]

for mu, sigma, name in configs:
    rv = stats.norm(loc=mu, scale=sigma)
    print(f"{name}: E[X]={rv.mean():.1f}, Var={rv.var():.2f}, "
          f"P(-1≤X≤1)={rv.cdf(1)-rv.cdf(-1):.4f}")

$\sigma^2 = 0.25$ (좁은 분포)일 때 $P(-1 \leq X \leq 1)$이 가장 크다는 점에 주목하자. 분산이 작으면 값들이 평균 근처에 집중되기 때문이다.

68-95-99.7 법칙

정규 분포에서 가장 많이 인용되는 성질이다. **경험적 법칙(Empirical Rule)**이라고도 한다.

$P(\mu - k\sigma \leq X \leq \mu + k\sigma) = \begin{cases} 0.6827 & k = 1 \\ 0.9545 & k = 2 \\ 0.9973 & k = 3 \end{cases}$

데이터의 68%가 ±1σ 이내, 95%가 ±2σ 이내, 99.7%가 ±3σ 이내에 놓인다.

이 법칙이 실전에서 활용되는 대표적인 사례가 이상 탐지(Anomaly Detection)다. 관측값이 평균에서 $3\sigma$ 이상 벗어나면, 전체의 0.3%도 안 되는 극단값이므로 이상치로 판단하는 것이다.

from scipy import stats

rv = stats.norm(0, 1)

# 68-95-99.7 검증
for k in [1, 2, 3]:
    prob = rv.cdf(k) - rv.cdf(-k)
    print(f"P(|Z| ≤ {k}) = {prob:.4f} ({prob*100:.2f}%)")
# P(|Z| ≤ 1) = 0.6827 (68.27%)
# P(|Z| ≤ 2) = 0.9545 (95.45%)
# P(|Z| ≤ 3) = 0.9973 (99.73%)

표준정규분포와 Z 변환

임의의 정규분포 $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$를 평균 0, 분산 1인 표준정규분포로 변환하는 과정을 표준화(Standardization) 또는 Z 변환이라 한다.

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$

이 변환이 중요한 이유는 세 가지다.

1. 비교 가능: 서로 다른 단위, 다른 스케일의 데이터를 같은 기준으로 비교할 수 있다.
2. 확률표 통일: 모든 정규분포의 확률을 하나의 표준정규분포 표로 계산할 수 있다.
3. ML의 표준 전처리: StandardScaler가 바로 이 Z 변환이다.

import numpy as np

# 시험 점수: 평균 70, 표준편차 10
scores = np.array([85, 92, 78, 65, 55])

# Z 변환 (StandardScaler와 동일한 연산)
mu, sigma = scores.mean(), scores.std()
z_scores = (scores - mu) / sigma
print(f"원점수: {scores}")
print(f"Z 점수: {z_scores.round(3)}")
# 양수면 평균 이상, 음수면 평균 이하

왜 ML에서 기본 가정인가

정규 분포가 ML의 기본 가정이 된 데에는 깊은 이유가 있다.

• **선형 회귀**는 잔차(residual)가 정규 분포를 따른다고 가정한다: $\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$.
• **이상 탐지**는 데이터가 가우시안 분포를 따른다고 가정하고, 밀도가 낮은 영역을 이상치로 판단한다.
• **PCA**는 데이터가 가우시안일 때 공분산 행렬의 고유벡터가 최적의 축이 된다.

가장 근본적인 이유는 **중심극한정리(CLT)**다 — 어떤 분포든 충분히 많이 더하면 정규 분포에 수렴한다. 이 강력한 정리는 다음 글에서 자세히 다룬다.

지수 분포 Exponential(λ)

포아송 과정의 대기 시간

이전 글에서 포아송 분포가 “단위 시간 동안 발생하는 사건의 횟수“를 모델링한다고 배웠다. 그렇다면 자연스럽게 이런 질문이 따라온다 — 사건과 사건 사이의 대기 시간은 어떤 분포를 따를까?

그 답이 바로 **지수 분포(Exponential Distribution)**다. 포아송 분포의 이산적 짝꿍이 기하 분포였다면, 연속적 짝꿍이 지수 분포다.

$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$

여기서 $\lambda > 0$는 **사건 발생률(rate)**이다. $\lambda$가 크면 사건이 자주 발생하므로 대기 시간이 짧고, $\lambda$가 작으면 대기 시간이 길다.

기댓값과 분산

$E[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

평균 대기 시간이 발생률의 역수라는 점이 직관적이다. 시간당 2번 서버 장애가 발생한다면($\lambda = 2$), 평균 대기 시간은 0.5시간(30분)이다.

파라미터에 따른 형태

λ가 클수록 0 근처에 밀집되고 빠르게 감소한다. 사건이 자주 발생할수록 짧은 대기 시간이 압도적으로 많다.

무기억성 (Memoryless Property)

지수 분포의 가장 독특한 성질이자, 연속분포 중에서 지수 분포만 가지는 특성이다.

$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$

풀어서 말하면: “이미 $s$시간 동안 사건이 안 일어났다고 해서, 앞으로 $t$시간 안에 일어날 확률이 달라지지 않는다.” 콜센터에서 10분 넘게 대기했다고 해서 다음 1분 안에 연결될 확률이 높아지지 않는다는 뜻이다.

포아송-지수 연결

포아송 분포와 지수 분포는 동전의 양면이다.

• 포아송: 고정된 시간 구간에서 사건 횟수 → $X \sim \text{Poisson}(\lambda t)$
• 지수: 사건 간 대기 시간 → $T \sim \text{Exp}(\lambda)$

from scipy import stats
import numpy as np

lam = 3  # 시간당 평균 3건 발생

# 포아송: 1시간 동안 사건 횟수 시뮬레이션
rng = np.random.default_rng(42)
counts = rng.poisson(lam, size=10000)
print(f"포아송 평균 횟수: {counts.mean():.3f}")  # ≈ 3.0

# 지수: 사건 간 대기 시간 시뮬레이션
wait_times = rng.exponential(1/lam, size=10000)
print(f"지수 평균 대기시간: {wait_times.mean():.3f}시간")  # ≈ 0.333

# 검증: 대기 시간 < 0.5시간일 확률
rv = stats.expon(scale=1/lam)
print(f"P(T < 0.5) = {rv.cdf(0.5):.4f}")  # 0.7769

# 무기억성 검증
p_fresh = 1 - rv.cdf(0.2)          # P(T > 0.2)
p_conditional = (1 - rv.cdf(0.7)) / (1 - rv.cdf(0.5))  # P(T > 0.7 | T > 0.5)
print(f"P(T > 0.2) = {p_fresh:.6f}")
print(f"P(T > 0.7 | T > 0.5) = {p_conditional:.6f}")
# 두 값이 같다 — 무기억성!

감마 분포 Gamma(α, β)

지수 분포의 일반화

지수 분포가 “첫 번째 사건까지의 대기 시간”이라면, **감마 분포(Gamma Distribution)**는 ”$\alpha$번째 사건까지의 대기 시간”이다. 지수 분포는 감마 분포에서 $\alpha = 1$인 특수한 경우에 해당한다.

$f(x) = \frac{x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}}{\beta^\alpha \, \Gamma(\alpha)}, \quad x > 0$

여기서 $\Gamma(\alpha)$는 감마 함수로, 계승(factorial)의 연속적 확장이다: 양의 정수 $n$에 대해 $\Gamma(n) = (n-1)!$. 예를 들어 $\Gamma(5) = 4! = 24$.

두 파라미터의 역할이 명확하다.

• $\alpha$ (형태 파라미터, shape): 분포의 형태를 결정. $\alpha = 1$이면 지수 분포, $\alpha$가 커지면 점점 종 모양에 가까워진다.
• $\beta$ (척도 파라미터, scale): 분포의 스케일을 결정. 가로축을 늘리거나 줄인다.

기댓값과 분산

$E[X] = \alpha\beta, \quad \text{Var}(X) = \alpha\beta^2$

α에 따른 형태 변화

α=1일 때 지수 분포 형태에서, α가 커질수록 대칭적인 종 모양으로 변해간다.

$\alpha$가 커질수록 분포의 최빈값(mode)이 오른쪽으로 이동하면서 점점 정규 분포와 비슷한 모양이 된다는 점을 주목하자. 실제로 $\alpha$가 충분히 크면 감마 분포는 정규 분포에 근사한다.

카이제곱 분포와의 관계

통계학에서 자주 등장하는 카이제곱 분포(Chi-squared Distribution) $\chi^2(k)$는 사실 감마 분포의 특수한 경우다.

$\chi^2(k) = \text{Gamma}\left(\frac{k}{2}, 2\right)$

카이제곱 분포는 $k$개의 독립적인 표준정규 확률변수의 제곱합이다: $Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2 \sim \chi^2(k)$. 가설 검정, 적합도 검정, 분산 분석에서 핵심 역할을 한다.

from scipy import stats
import numpy as np

# 감마 분포 vs 지수 분포
alpha, beta = 1, 2
gamma_rv = stats.gamma(a=alpha, scale=beta)
exp_rv = stats.expon(scale=beta)

# alpha=1일 때 감마 = 지수
x = np.linspace(0, 10, 100)
assert np.allclose(gamma_rv.pdf(x), exp_rv.pdf(x)), "Gamma(1,β) == Exp(1/β)"
print("✓ Gamma(1, β) = Exponential(1/β) 확인!")

# 감마 분포의 기본 통계량
for alpha in [1, 2, 5, 10]:
    rv = stats.gamma(a=alpha, scale=1)
    print(f"Gamma(α={alpha:2d}, β=1): E[X]={rv.mean():.1f}, "
          f"Var={rv.var():.1f}, Mode={max(0, alpha-1):.1f}")

# 카이제곱과 감마의 관계
k = 6
chi2_rv = stats.chi2(df=k)
gamma_equiv = stats.gamma(a=k/2, scale=2)
x = np.linspace(0, 20, 100)
assert np.allclose(chi2_rv.pdf(x), gamma_equiv.pdf(x))
print(f"✓ χ²({k}) = Gamma({k/2}, 2) 확인!")

베타 분포 Beta(α, β)

확률의 확률을 모델링하다

앞서 다룬 분포들은 전부 값의 범위가 $[0, \infty)$이거나 $(-\infty, \infty)$였다. **베타 분포(Beta Distribution)**는 $[0, 1]$ 구간에서만 정의되는, 독특한 위치의 분포다.

$f(x) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}, \quad 0 \leq x \leq 1$

$[0, 1]$ 구간이라는 것은 곧 확률값이나 비율을 모델링하기에 완벽한 분포라는 의미다. 클릭률(CTR), 전환율, 합격률처럼 0과 1 사이의 값을 다룰 때 베타 분포가 등장한다.

기댓값과 분산

$E[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}, \quad \text{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

기댓값이 $\frac{\alpha}{\alpha + \beta}$라는 점에서, $\alpha$를 “성공 횟수”, $\beta$를 “실패 횟수”로 해석할 수 있다. 성공이 많을수록 기댓값이 1에 가까워지고, 실패가 많을수록 0에 가까워진다.

α, β에 따른 형태 변화

베타 분포의 가장 매력적인 특성은 두 파라미터의 조합에 따라 놀랍도록 다양한 형태를 만들어낸다는 점이다.

α, β 값에 따라 U자, 균일, 왼쪽 집중, 오른쪽 집중, 대칭 종 모양까지 모든 형태를 만들 수 있다.

베이지안의 핵심: 켤레 사전분포

베타 분포가 ML과 통계학에서 특별한 위치를 차지하는 가장 큰 이유는 켤레 사전분포(Conjugate Prior) 역할 때문이다.

베르누이/이항 분포의 파라미터 $p$에 대해 베타 분포를 사전분포로 사용하면, 데이터를 관측한 후의 사후분포도 여전히 베타 분포가 된다.

$\text{Prior: } p \sim \text{Beta}(\alpha, \beta) \quad \xrightarrow{\text{데이터: } s\text{번 성공, } f\text{번 실패}} \quad \text{Posterior: } p \sim \text{Beta}(\alpha + s, \beta + f)$

사전분포와 사후분포가 같은 “가족”에 속하므로 계산이 깔끔하고, 데이터가 들어올 때마다 파라미터만 갱신하면 된다.

from scipy import stats
import numpy as np

# A/B 테스트 시나리오: 새 버튼의 클릭률을 추정
# 사전 지식: 기존 CTR ≈ 5%, 약한 확신 → Beta(2, 38)
alpha_prior, beta_prior = 2, 38

# 데이터: 200명 중 15명 클릭
successes, failures = 15, 185

# 사후분포: Beta(2+15, 38+185) = Beta(17, 223)
alpha_post = alpha_prior + successes
beta_post = beta_prior + failures

prior = stats.beta(alpha_prior, beta_prior)
posterior = stats.beta(alpha_post, beta_post)

print(f"사전분포 E[p] = {prior.mean():.4f}")      # 0.0500
print(f"사후분포 E[p] = {posterior.mean():.4f}")    # 0.0708
print(f"95% 신용구간: [{posterior.ppf(0.025):.4f}, {posterior.ppf(0.975):.4f}]")
# 데이터가 사전 믿음(5%)을 7.1%로 업데이트했다

5대 연속분포 비교 총정리

지금까지 다룬 5가지 분포를 한눈에 비교해보자.

from scipy import stats

# 5대 분포 한 번에 비교
distributions = {
    'Uniform(0,1)':    stats.uniform(0, 1),
    'Normal(0,1)':     stats.norm(0, 1),
    'Exp(1)':          stats.expon(scale=1),
    'Gamma(3,2)':      stats.gamma(a=3, scale=2),
    'Beta(2,5)':       stats.beta(2, 5),
}

print(f"{'분포':<16} {'E[X]':>8} {'Var(X)':>10} {'Skew':>8} {'Kurt':>8}")
print("-" * 54)
for name, rv in distributions.items():
    print(f"{name:<16} {rv.mean():>8.4f} {rv.var():>10.4f} "
          f"{rv.stats(moments='s')[0]:>8.4f} {rv.stats(moments='k')[0]:>8.4f}")

분포 간 관계: 패밀리 트리

지금까지 개별 분포를 하나씩 살펴봤다. 하지만 이 분포들은 고립된 존재가 아니다. 서로 특수한 경우이거나, 극한에서 수렴하거나, 짝을 이루는 관계로 연결되어 있다. 이산분포까지 포함한 전체 관계도를 그려보자.

이산분포(보라)와 연속분포(초록), 파생분포(노랑)의 관계. 화살표는 특수 경우나 극한 관계를 나타낸다.

주요 연결 관계를 정리하면 이렇다.

이산 → 연속 연결

연속 → 연속 연결

from scipy import stats
import numpy as np

# 관계 검증 1: Uniform(0,1) == Beta(1,1)
x = np.linspace(0, 1, 100)
assert np.allclose(stats.uniform.pdf(x), stats.beta.pdf(x, 1, 1))
print("✓ Uniform(0,1) = Beta(1,1)")

# 관계 검증 2: Exponential(λ) == Gamma(1, 1/λ)
lam = 3.0
x = np.linspace(0, 5, 100)
exp_pdf = stats.expon.pdf(x, scale=1/lam)
gamma_pdf = stats.gamma.pdf(x, a=1, scale=1/lam)
assert np.allclose(exp_pdf, gamma_pdf)
print("✓ Exp(λ) = Gamma(1, 1/λ)")

# 관계 검증 3: Binomial → Normal (CLT)
n = 1000
p = 0.3
binom_rv = stats.binom(n, p)
normal_approx = stats.norm(n*p, np.sqrt(n*p*(1-p)))

# 두 CDF가 거의 일치
x_test = np.arange(250, 350)
max_diff = np.max(np.abs(binom_rv.cdf(x_test) - normal_approx.cdf(x_test)))
print(f"✓ Binom(1000, 0.3) vs Normal 근사: CDF 최대 차이 = {max_diff:.6f}")

이 패밀리 트리를 머릿속에 그려두면, 새로운 분포를 만났을 때 “이건 어디서 파생된 건가?”라는 질문으로 빠르게 이해할 수 있다.

정규 분포의 특별한 위치

어디서나 정규를 가정하는 이유

이 글에서 다룬 5가지 분포 중에서도 정규 분포는 유독 특별한 위치에 있다. 왜 이렇게 어디서나 등장하는 걸까?

핵심 답은 **중심극한정리(Central Limit Theorem)**다.

어떤 분포를 따르든, 독립적인 확률변수를 충분히 많이 더하면 그 합의 분포는 정규 분포에 수렴한다.

사람의 키는 유전, 영양, 환경, 운동 등 수많은 독립적 요인의 합으로 결정된다. 각 요인이 어떤 분포를 따르든, 그 합산 결과는 정규 분포에 가까워진다. 이것이 자연계에서 정규 분포가 흔한 근본적 이유다.

CLT의 수학적 증명과 시뮬레이션은 다음 글: 큰 수의 법칙과 중심극한정리에서 본격적으로 다룬다.

Box-Muller 변환: 균일에서 정규로

앞서 균일 분포가 “모든 난수의 출발점”이라고 했다. 균일 분포에서 정규 분포 난수를 만드는 고전적인 방법이 Box-Muller 변환이다.

두 개의 독립적인 균일 난수 $U_1, U_2 \sim \text{Uniform}(0, 1)$로부터 두 개의 독립적인 표준정규 난수를 생성한다.

$Z_0 = \sqrt{-2 \ln U_1} \cos(2\pi U_2)$ $Z_1 = \sqrt{-2 \ln U_1} \sin(2\pi U_2)$

import numpy as np
from scipy import stats

def box_muller(n, seed=42):
    """균일 난수 → 정규 난수 (Box-Muller Transform)"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    u1 = rng.uniform(0, 1, size=n)
    u2 = rng.uniform(0, 1, size=n)

    z0 = np.sqrt(-2 * np.log(u1)) * np.cos(2 * np.pi * u2)
    z1 = np.sqrt(-2 * np.log(u1)) * np.sin(2 * np.pi * u2)
    return z0, z1

# 10만 개 정규 난수 생성
z0, z1 = box_muller(100_000)

# 정규 분포인지 검증
print(f"z0: mean={z0.mean():.4f}, std={z0.std():.4f}")  # ≈ 0, 1
print(f"z1: mean={z1.mean():.4f}, std={z1.std():.4f}")  # ≈ 0, 1

# Shapiro-Wilk 정규성 검정 (샘플 5000개)
stat, p_value = stats.shapiro(z0[:5000])
print(f"Shapiro-Wilk p-value: {p_value:.4f}")  # >> 0.05: 정규 분포!

균일 분포라는 가장 단순한 분포에서 출발해, 로그와 삼각함수라는 비선형 변환을 거쳐 정규 분포가 탄생한다. 수학의 우아함이 빛나는 순간이다.

왜 이 변환이 동작하는가? $U_1$에 $-\ln$을 취하면 지수 분포가 되고, $\sqrt{2 \cdot (\cdot)}$를 적용하면 Rayleigh 분포가 된다. 여기에 $U_2$에서 나온 균일한 각도 $\theta = 2\pi U_2$를 결합하면, 2차원 표준정규 분포의 극좌표 표현과 정확히 일치한다. 이것이 Box-Muller의 핵심 아이디어다.

scipy.stats 치트시트

이 글에서 사용한 scipy.stats API를 정리해두면 나중에 분포를 다룰 때 편리하다.

from scipy import stats

# 1. 분포 객체 생성
rv = stats.norm(loc=0, scale=1)      # Normal(0, 1)
rv = stats.expon(scale=1/lam)        # Exponential(λ) — scale = 1/λ
rv = stats.gamma(a=alpha, scale=beta) # Gamma(α, β)
rv = stats.beta(a=alpha, b=beta)     # Beta(α, β)
rv = stats.uniform(loc=a, scale=b-a) # Uniform(a, b)

# 2. 공통 메서드
rv.pdf(x)         # 확률 밀도 함수
rv.cdf(x)         # 누적 분포 함수 P(X ≤ x)
rv.ppf(q)         # 역 CDF (분위수 함수)
rv.mean()         # 기댓값
rv.var()          # 분산
rv.std()          # 표준편차
rv.interval(0.95) # 95% 구간 (대칭)
rv.rvs(size=n)    # n개 난수 생성

# 3. 확률 계산 패턴
P_interval = rv.cdf(b) - rv.cdf(a)   # P(a ≤ X ≤ b)
P_tail = 1 - rv.cdf(x)               # P(X > x) — 상위 꼬리
x_95 = rv.ppf(0.95)                   # 상위 5% 시작점

마치며

이산분포에서 연속분포까지, 확률분포의 핵심 레퍼토리를 완성했다. 하지만 하나의 근본적인 질문이 남아 있다 — 왜 어디서나 정규 분포가 나타나는가?

다음 글에서는 큰 수의 법칙(LLN)과 중심극한정리(CLT)를 통해 이 질문에 정면으로 답한다. 독립적인 확률변수의 평균이 “자동으로” 정규 분포에 수렴하는 메커니즘을 수학과 시뮬레이션으로 확인할 것이다.

References

• Blitzstein, J. K., & Hwang, J. (2019). Introduction to Probability (2nd ed.), Chapters 5-7. Harvard Stat 110.
• Wasserman, L. (2004). All of Statistics, Chapters 2-3. Springer.
• scipy.stats documentation: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/stats.html